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符号极限:看“靠近”的过程

第四章 4.4.1(P41—P43)· 对应第7次课任务7。左边看图,右边看数值和 MATLAB 命令。结果按机房 R2014b 的显示写,以屏幕为准。

f(x) = 1/x,x → 0

从左边靠近(x 比 0 小)从右边靠近(x 比 0 大)
函数:

x(左)f(x)x(右)f(x)

cos(x) 在 x = 1 处:割线怎样变成切线

y = cos(x)割线:连 P(1, cos 1) 和 Q(1+t, cos(1+t))切线(t 很小时出现)

导数的定义:f′(x) = limt→0 (f(x+t) − f(x))/t。(cos(1+t) − cos 1)/t 是割线 PQ 的斜率;t 越小,Q 越靠近 P,割线就变成切线。

t = 1.5 割线斜率 =
t(cos(1+t) − cos 1)/t

(1 + 1/x)x,x → +∞(横轴是 1、10、100……每格大10倍)

任务7“自己写命令”的题。学生做完以后再放:先问“手算的结果是多少”,再点下面的按钮。

常见的错:以为 1 + 1/x 越来越接近 1,所以结果是 1。可是指数 x 也在变大,两件事一起发生。

x(1 + 1/x)^x
答案先遮住:点“揭晓答案”才显示 MATLAB 的结果。